分析 (1)首先根据AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,可得∠ADB=∠ABC=90°;然后根据∠ACB=60°,求出∠A的度数,即可求出BD的长是多少.
(2)首先连接OD,根据点E是线段BC的中点,判断出∠DBE=∠BDE;然后判断出∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD,即∠ODE=∠OBE=90°,再根据DE过半径OD的外端,判断出DE是⊙O的切线即可.
解答 (1)解:∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,
∴∠ADB=∠ABC=90°,
∵∠ACB+∠CBD=∠A+∠ACB,
∴∠A=∠CBD=90°-∠ACB=90°-60°=30°,
∴BD=AB$•sin30°=10×\frac{1}{2}$=5.
(2)证明:如图1,连接OD.,
由(1),可得∠BDC=90°,
∵点E是线段BC的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}BC=BE$,
∴∠DBE=∠BDE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD,
即∠ODE=∠OBE=90°,
又∵DE过半径OD的外端,
∴DE是⊙O的切线.
点评 (1)此题主要考查了切线的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
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