Question

已知抛物线y=x²﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求D点的坐标；

（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；

（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；

（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；

（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，

设Q（m，n），根据点Q在y=x²﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m²﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．

解答：

解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x²﹣2x+c得：1+2+c=0

∴c=﹣3

∴y=x²﹣2x﹣3=y=（x﹣1）²﹣4

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，

由x²﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3

∴B（3，0）

当x=0时，y=x²﹣2x﹣3=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴OB=OC=3

∵∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

BC=3

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，

∴∠FCD=45°，CD=，

∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．

∴∠BCD=∠COA

又∵

∴△DCB∽△AOC，

∴∠CBD=∠OCA

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB

∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点

∵∠PMA=45°，

∴∠EMH=45°，

∴∠MHE=90°，

∴∠PHB=90°，

∴∠DBG+∠OPN=90°

又∴∠ONP+∠OPN=90°，

∴∠DBG=∠ONP

又∵∠DGB=∠PON=90°，

∴△DGB=∠PON=90°，

∴△DGB∽△PON

∴

即：=

∴ON=2，

∴N（0，﹣2）

设直线PQ的解析式为y=kx+b

则

解得：

∴y=﹣x﹣2

设Q（m，n）且n＜0，

∴n=﹣m﹣2

又∵Q（m，n）在y=x²﹣2x﹣3上，

∴n=m²﹣2m﹣3

∴﹣m﹣2=m²﹣2m﹣3

解得：m=2或m=﹣

∴n=﹣3或n=﹣

∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．

点评：

本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．