Question

17．在某节习题课上，老师在黑板上写下了关于x的二次函数y=kx²+（k+1）x+2-4k．
（1）某两位同学经过思考，对上述的二次函数进行了如下总结：
①该二次函数的图象经过点（1，3）；
②当k＜0时，该二次函数的图象与y轴的正半轴有交点；
请你判断上面两条结论是真命题还是假命题，并说明理由；
（2）若二次函数y=kx²+（k+1）x+2-4k的图象如图所示，该函数图象经过点B（-3，1）且与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点C，D为图象的顶点．
①求∠BAD的度数；
②点M在第三象限，且点M在二次函数图象上，连接OM．若∠ABD=∠MOC，求点M的横坐标．

Answer 1

分析 （1）①将（1，3）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②根据当k＜0时，2-4k＞0，即可判断；
（2）①将点B（-3，1）代入y=kx²+（k+1）x+2-4k，即可得出k的值，从而得出二次函数的解析式，即可得出点A、C、D的坐标，求得AB，AD，BD的长，再根据勾股定理的逆定理即可得出∠BAD的度数；
②设点M的坐标（x_M，y_M），根据∠ABD=∠MOC，即可得出tan∠ABD的值，从而得出点M的横坐标．

解答 解：（1）①假命题；将（1，3）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=3，
解得：k=0．所以是假命题；
②是真命题，
理由：∵二次函数y=kx²+（k+1）x+2-4k的图象与y轴的交点为（0，2-4k），
当k＜0，时，2-4k＞0，
∴二次函数的图象与y轴的正半轴有交点；
（2）由二次函数y=kx²+（k+1）x+2-4k可知A（0，2-4k），D（-$\frac{k+1}{2k}$，$\frac{4k（2-4k）-（k+1）^{2}}{4k}$），
∵B（-3，1）在二次函数y=kx²+（k+1）x+2-4k的图象上，
∴9k-3（1-4k）+2-4k=1，
解得k=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-2，
∴A（0，-2），D（-1，-3）
∴AB=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∵（3$\sqrt{2}$^）2+$\sqrt{2}$²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴AB²+AD²=BD²，
∴△ABD为Rt△，
∴∠BAD=90°；
②设点M的坐标（x_M，y_M），
∵∠ABD=∠MOC，
∴tan∠ABD=tan∠MOC，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠MOC=$\frac{|yM|}{|xM|}$=$\frac{-{y}_{M}}{-{x}_{M}}$=$\frac{1}{3}$，
∴x_M=3y_M，
∴y_M=$\frac{1}{3}$x_M，
∵点M在二次函数图象上，
∴$\frac{1}{3}$x=x²+2x-2，
解得x=$\frac{-5±\sqrt{97}}{6}$，
∵点M在第三象限，
∴x＜0，
∴x=$\frac{-5-\sqrt{97}}{6}$，
∴点M的横坐标$\frac{-5-\sqrt{97}}{6}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，还考查了点与函数的关系，待定系数法求二次函数的解析式以及三角函数、勾股定理的逆定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．