Question

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个实数根；
（2）当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先计算出△=（k+3）²-4×3k，再变形得到△=（k-3）²，由于（k-3）²，≥0，即△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当AC=BC=5，由于AC的长是关于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0的实数根，则把x=5代入可求出k的值；当AB=AC，得到方程x²-（k+3）x+3k=0的两个相等的实数根，令△=0即可求出对应k的值．

解答：（1）证明：△=（k+3）²-4×3k
=（k-3）²，
∵（k-3）²，≥0，
∴△≥0，
∴无论k为何值时，方程总有两个实数根；

（2）解：当AC=BC=5，
把x=5代入方程x²-（k+3）x+3k=0得5²-（k+3）×5+3k=0，解得k=5；
当AB=AC，则方程x²-（k+3）x+3k=0的两个相等的实数根，
∴△=（k-3）²，=0，
∴k=3，
∴k的值为3或5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质．