Question

14．如图，?ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．
（1）当E是BC中点时，求△BEF的面积；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）先根据AAS判定△ABM≌△EBF，进而得到S_△ABM=S_△EBF，再根据AB=5，BC边上的高AM=4，求得Rt△ABM中，BM=3，进而得到S_△ABM=S_△EBF=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
（2）过点C作FG的平行线交直线AB于H，证得四边形FHCG为矩形，得出FH=CG，FG=CH，所以△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，再证得Rt△BEF∽Rt△BAM，那么根据相似三角形的性质，即可求得CH=8，然后根据勾股定理求得BH=6，即可求出两三角形的周长和是24．

解答 解：（1）∵E是BC中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=5，
又∵AB=5，
∴AB=EB，
∵AM⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AMB=∠EFB=90°，
在△ABM和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠EFB}\\{∠B=∠B}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EBF（AAS），
∴S_△ABM=S_△EBF，
又∵AB=5，BC边上的高AM=4，
∴Rt△ABM中，BM=3，
∴S_△ABM=S_△EBF=$\frac{1}{2}$×3×4=6；

（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由：如图，过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{AM}{CH}$，
由BC=10，AB=5，AM=4，可得CH=8，
∴BH=6，
∴BC+CH+BH=24，
即△BEF与△CEG的周长之和为定值24．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．