Question

将下列各式因式分解：
（1）a³﹣16a；                  
（2）4ab+1﹣a²﹣4b²．
（3）9（a﹣b）²+12（a²﹣b²）+4（a+b）²；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1．
（5）（x²﹣2x）²+2x²﹣4x+1．
（6）49（x﹣y）²﹣25（x+y）²
（7）81x⁵y⁵﹣16xy
（8）（x²﹣5x）²﹣36．

Answer 1

（1）a（a+4）（a﹣4）
（2）（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）
（3）（5a﹣b）²
（4）（x﹣y+1）²
（5）（x﹣1）⁴
（6）4（6x﹣y）（x﹣6y）
（7）xy（9x²y²+4）（3xy+2）（3xy﹣2）
（8）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣6）（x+1）

解析试题分析：（1）先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先将第一、三、四项作为一组，提取﹣1后写成完全平方式，再利用平方差公式分解；
（3）将（a+b），（a﹣b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1变形为（x﹣y）²+2（x﹣y）+1，利用完全平方公式分解因式；
（5）利用完全平方公式分解因式；
（6）利用平方差公式分解因式；
（7）先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（8）利用平方差公式分解因式，再利用十字相乘法公式分解因式．
解：（1）a³﹣16a=a（a²﹣16）=a（a+4）（a﹣4）；                  
（2）4ab+1﹣a²﹣4b²=1﹣（﹣4ab+a²+4b²）=1﹣（a﹣2b）²=（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）；
（3）9（a﹣b）²+12（a²﹣b²）+4（a+b）²=[3（a﹣b）]²+2×3（a﹣b）×2（a+b）+[2（a+b）]²=[3（a﹣b）+2（a+b）]²=（5a﹣b）²；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1=（x﹣y）²+2（x﹣y）+1=（x﹣y+1）²；
（5）（x²﹣2x）²+2x²﹣4x+1=（x²﹣2x）²+2（x²﹣2x）+1=（x²﹣2x+1）²=（x﹣1）⁴；
（6）49（x﹣y）²﹣25（x+y）²=[7（x﹣y）]²﹣[5（x+y）]²=[7（x﹣y）+5（x+y）][7（x﹣y）﹣5（x+y）]=（12x﹣2y）（2x﹣12y）=4（6x﹣y）（x﹣6y）；
（7）81x⁵y⁵﹣16xy=xy（81x⁴y⁴﹣16）=xy（9x²y²+4）（9x²y²﹣4）=xy（9x²y²+4）（3xy+2）（3xy﹣2）；
（8）（x²﹣5x）²﹣36=（x²﹣5x+6）（x²﹣5x﹣6）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣6）（x+1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．注意一个多项式采取什么方法进行因式分解要根据题目的特点而定，所以要认真观察式子的特点．