Question

11．已知，如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O为BC延长线上一点，CO=3，过O，A作直线l，将l绕点Q逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转，过D作DM⊥AE于M，设AD=x，S_△ACE=S
探究1：用含x的代数式表示DM，AM的长
探究2：当直线l过AC中点时，求x的值；
探究3：用含x的代数式表示AE的长．

Answer 1

分析 探究1，根据勾股定理求出AB=10，再由DM∥BC，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，求出DM、AM；
探究2，由直线l过AC中点，得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，再由DM∥BC知$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$、$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，求出AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，从而求出x；
探究3，由DM∥BC得出比例式$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$求出ME，从而得到AE．

解答 解：探究1，如图1，

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DM⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{DM}{6}$=$\frac{AM}{8}$，
∴DM=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$x，

探究2，如图2，

∵直线l过AC中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{DM}{3}$=$\frac{ME}{4}$①，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$
∴$\frac{DM}{6}$=$\frac{AM}{8}$，
∴$\frac{DM}{3}$=$\frac{AM}{4}$②，
由①②得，AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{8}$，
∴x=$\frac{5}{2}$；

探究3，
由（1）有，DM=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$x，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}x}{3}$=$\frac{ME}{8-\frac{4}{5}x-ME}$，
∴ME=$\frac{-4{x}^{2}+40x}{x+5}$，
∴AE=AM+ME=$\frac{4}{5}$x+$\frac{-4{x}^{2}+40x}{x+5}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，比例的基本性质，解本题的关键是写出比例式求出相关的线段．