Question

（2011•湛江）如图，抛物线y=x²+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，
解得：b=2，c=﹣3，
则解析式为：y=x²+2x﹣3；
（2）由题意结合图形
则解析式为：y=x²+2x﹣3，
解得x=1或x=﹣3，
由题意点A（﹣3，0），
∴AC=，CD=，AD=，
由AC²+CD²=AD²，
所以△ACD为直角三角形；
（3）由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣），
∴MF=，BF=OB﹣OF=．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P₁（0，﹣）或P₂（3，﹣），
当P₁（0，﹣）时，由（1）知y=x²﹣2x﹣3=﹣3≠﹣，
∴P₁不在抛物线上．
当P₂（3，﹣）时，由（1）知y=x²﹣2x﹣3=0≠﹣，
∴P₂不在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

解析