Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x₁、x₂恰是方程x²-2x-3=0的两根，且sin∠OBC=．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，可求：OA=1，OB=3，OC=3，
设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴3=a×1×（-3），
解得：a=-1，
所以二次函数式为y=-x²+2x+3．
（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则顶点P（1，4），共分两种情况，如图1：

①由B、C两点坐标可知，直线BC解析式为y=-x+3，
设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b，
将点P（1，4）代入，得y=-x+5．
则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，
即可得：-x²+2x+3=-x+5，
解：x=1或x=2，
代入直线则得点（1，4）或（2，3）．
已知点P（1，4），
所以点Q（2，3）．
②由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，
设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=-x+c，
将P′代入，得y=-x+1．
联立，
解得或．
故可得存在Q它的坐标为（2，3）或（，）或（，）．
（3）由（2）可得：M（1，2），如图2：
由点M，P的坐标可知点R存在，即过点M平行于x轴的直线，

则可得-x²+2x+3=2，
解得x₁=1-（在对称轴的左侧，舍去），x₂=，
即点R（，2）．
分析：（1）根据一元二次方程的解，可得出OA、OB，根据sin∠OBC=可得出OC的长度，将点C的坐标代入，可得出a的值，继而可得出抛物线的解析式；
（2）因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意；
（3）根据前面所求可得出点M是PP'的中点，从而过点M作x轴的平行线，与抛物线的交点即为所求．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，综合性较强，解答本题的难点在第三问，关键是根据点M是PP'的中点求解，难度较大．