Question

3．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如图1，若AB=8，点D是AC边上的中点，求S_△BCD；
（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB=∠CEG．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形得：S_△BCD=S_△ABD，因此计算△ABD的面积就是△BCD的面积，代入面积公式计算即可；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABD≌△EBD，则AB=EB，AD=DE，再证明△DEC是等腰直角三角形，根据BC=BE+CE可得结论；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形和直角三角形，证明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠ADB=∠H；得出CE=CH，所以继续证明△ECG≌△HCG，得∠CEG=∠H，从而得出结论．

解答 解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=8，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△BCD=S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×8×4=16；             

（2）数量关系为：BC=AB+AD．理由如下：
如图2，过D作DE⊥BC于E，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=EB，AD=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
又∵∠CED=90°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠C=45°=∠C，
∴CE=DE，
又∵AB=EB，AD=DE，
∴BC=BE+CE=AB+DE=AB+AD；

（3）如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，
又∵∠BAC=90°，
∴∠HCA=∠DAB=90°，
∵∠BAC=90°，AF⊥BD，
∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ABD+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
又∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，
∴△ABD≌△CAH，
∴AD=CH，∠ADB=∠H．
又∵AD=CE，
∴CH=CE．
∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，
∴∠BCH=∠ACB=45°，
又∵GC=GC，CH=CE，
∴△ECG≌△HCG，
∴∠CEG=∠H，
又∵∠ADB=∠H，
∴∠ADB=∠CEG．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、三角形中线的性质，（2）和（3）问题的关键是作垂线，构建全等三角形，从而使问题得以解决．