Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+c与y轴交于点D（0，3）．
（1）直接写出c的值；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；
（3）已知点P是直线BC上一个动点，
①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连接BE．设点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为r的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将D（0，3），直接代入解析式求出即可；
（2）分别求出顶点C坐标为（1，4）以及令y=0得x₁=-1，x₂=3得出B（3，0），代入一次函数解析式即可得出直线BC的解析式；
（3）根据s=

1

2

PE•OE=

1

2

x(-2x+6)=-x2+3x，求出s最大值即可，再根据当⊙P与⊙C外切时，以及当⊙P与⊙C内切时，分别得出P点的坐标．

解答：解：（1）c=3．

（2）由（1）知抛物线为：y=-x²+2x+3，配方得y=-（x-1）²+4
∴顶点C坐标为（1，4）
令y=0得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0）
设直线BC解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、C两点坐标代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得：k=-2，b=6，
∴直线BC解析式为：y=-2x+6，

（3）①∵点P（x，y）在y=-2x+6的图象上，
∴PE=x，OE=-2x+6
∴s=

1

2

PE•OE=

1

2

x(-2x+6)=-x2+3x
∴s=-x²+3x  （1＜x＜3），
s=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

=-（x-

3

2

）²+

9

4

．
∵x=

3

2

符合1＜x＜3，
∴当x=

3

2

时，s取得最大值，最大值为

9

4

．
②答：存在．
如图，设抛物线的对称轴交x轴于点F，则CF=4，BF=2．
过P作PQ⊥CF于Q，则Rt△CPQ∽Rt△CBF
∴

CQ

CF

=

PQ

BF

，即

CQ

4

=

r

2

，
∴CQ=2r，
当⊙P与⊙C外切时，CP=r+1．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r+1）²
解得r=

1+ 5

4

，(r=

1- 5

4

舍去）．
此时P1(

5+ 5

4

，

7- 5

2

)，P2(

3- 5

4

，

9+ 5

2

)．
当⊙P与⊙C内切时，CP=|r-1|．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r-1）²．
解得r=

-1+ 5

4

，(r=

-1- 5

4

舍去）．
此时P3(

3+ 5

4

，

9- 5

2

)，P4(

5- 5

4

，

7+ 5

2

)．
∴当⊙P与⊙C相切时．
点P的坐标为P1(

5+ 5

4

，

7- 5

2

)，P2(

3- 5

4

，

9+ 5

2

)，P3(

3+ 5

4

，

9- 5

2

)，P4(

5- 5

4

，

7+ 5

2

)．
（点P的坐标只写1个不得分，写出2个或3个得（1分），写出4个得2分）

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及直线解析式的求法，根据圆与圆的相切时分类讨论，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．