Question

5．已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1．
（1）求△ABC的面积．
（2）在直线BC上能否找到点P，使得S_△APC=6？若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；
（2）假设能，设点P的坐标为（m，-2m-1），分m＜-1和m＞0两种情况考虑，根据三角形的面积公式结合S_△APC=6，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=2x+3=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
当x=0时，y=-2x-1=-1，
∴点B的坐标为（0，-1），
∴AB=3-（-1）=4．
联立两直线解析式成分方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-2x-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（-1，1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•|x_C|=$\frac{1}{2}$×4×1=2．

（2）假设能，设点P的坐标为（m，-2m-1），
当m＜-1时，有$\frac{1}{2}$AB•（-m）-2=-2m-2=6，
解得：m=-4，
此时点P的坐标为（-4，7）；
当m＞0时，有$\frac{1}{2}$AB•m+2=2m+2=6，
解得：m=2，
此时点P的坐标为（2，-5）．
综上所述：在直线BC上能找到点P，使得S_△APC=6，点P的坐标为（-4，7）或（2，-5）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）分m＜-1和m＞0两种情况找出关于m的一元一次方程．