Question

（11·肇庆）(本小题满分10分)己知：如图10．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA
（2）求证：P处线段AF的中点
．

Answer 1

（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA
∵∠DAC与∠CBD都是所对的圆周角
∴∠DAC＝∠CBD………………………………………………………………1分
∴∠DAC＝∠DBA………………………………………………………………2分
（2）∵AB为⊙O的直径     
∴∠ADB＝90°………………………………………………………………………3分
又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°
∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP………………………………………………………4分
∴PD＝PA …………………………………………………………………………5分
又∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD……………………………………………………………………6分
∴PD＝PF
∴PA＝PF 即P是线段AF的中点………………………………………………7分
（3）∵∠DAF＝∠DBA  ∠ADB＝∠FDA＝90°
∴△FDA∽△ADB……………………………………………………………………8分

解析