Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α（如图）
（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形？
（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形？
（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？

Answer 1

分析 （1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，首先证明四边形AFCE、四边形AFEB是平行四边形，再证明△ABE是等边三角形即可解决问题．
（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，取BC中点M，连接AM，首先证明△ABE是等边三角形，推出∠OCE=30°即可解决问题．
（3）不可能，只要证明AE≠AF即可解决问题．

解答 解：（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，AF∥BC，
∴AF∥BE，
∵∠α=∠ABC=60°，
∴AB∥EF，
∴四边形AFEB是平行四边形，
∴AF=BE=CE，
∵BC=8，AB=4，
∴AB=BE=4，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=CE，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形，
故答案为：60°；
（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，
理由如下：同（1）得：四边形AFCE是平行四边形，
取BC中点M，连接AM，∵AB=BM=4，∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AMB=60°，AM=BM=AB=CM，
∴∠ACM=∠MAC=30°，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
∵OE=OF，OA=OC，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为30°．
（3）四边形AECF不可能是正方形．
理由如下：如图四边形AFCE是矩形，
∵AB=4，BC=8，∠B=60°，
∴在RT△ABF中，AF=AB•sin∠B=2$\sqrt{3}$，BF=AB•cos60°=2，
∴CF=BC-BF=8-2=6，
∵AF≠FC，
∴四边形AFCE不是正方形．

点评 本题考查菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．