Question

【题目】如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=1时，KE=_____，EN=_____；

（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？

（3）当点K到达点N时，求出t的值；

（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

Answer 1

【答案】 （1）1， ；（2） ；（3） ； （4）当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形.

【解析】试题分析：

（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．

（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．

（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．

（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．

试题解析：

（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，

∵PE=2，

∴KE=2﹣1=1，

∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，

∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，

∴=， =，

∴MP=，ME=，

∴NE=；

故答案为：1；；

（2）由（1）并结合题意可得，

AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，

∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），

解得，t=；

（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，

由（2）得，﹣t+2=t，

解得，t=；

（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，

即，0＜t≤2；

②当点k在EF上时，

则KE=t﹣2，BP=8﹣t，

∵△BPK∽△PKE，

∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，

∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），

解得t=3，t=4；

③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．

综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．