Question

20．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC边上的一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3．
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求AD的长度．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面积关系求出BD=3DC=6，得出BC=BD+CD=8，在△ADC与△ABD中，$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{BD}=2$，∠BCA=∠ACD，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，即可求出AD的长．

解答 （1）证明：∵CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3．
∴BD=3DC=6，
∴BC=BD+CD=8，
∴在△ADC与△ABD中，$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{BD}=2$，∠BCA=∠ACD．
∴△ADC∽△BAC．
（2）解：∵△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，
又∵AB=8，AC=4，CD=2．
∴AD=$\frac{2×8}{4}$=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积；证明三角形相似是解决问题的关键．