Question

如图，过Rt△ABC的直角顶点C作圆O，圆O与△ABC的两边AB、BC分别相切于D、C，并交AC边于E．在优弧DE上任取一点F，连接FE、FD，若BC=a，cos∠EFD=

AC

AB

．
①求证：AD=BD；
②试求∠EDA的大小；
③计算圆O的面积．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，连接CD，由圆周角定理可得∠EFD=∠ECD，在Rt△ACB中，cosA=

AC

AB

，cos∠EFD=

AC

AB

，可得∠A=∠EFD=∠ECD，AD=CD，可得∠B=∠BCD，故可知CD=BD=AD；
（2）由BC、BD是⊙O的切线，可得BC=BD，而CD=BD，故△BCD为正三角形，∠B=60°，∠A=30°，又∠EDA=∠ECD，故可得∠EDA=∠A=30°；
（3）在Rt△EDC中，∠ECD=30°，可得ED=

1

2

EC，而ED=EA，可得E为AC的三平分点，根据BC，tanB的值，可求得AC的长，故求得⊙O的半径为

1

3

AC的长，代入圆的面积公式S=πR²求解即可．

解答：（1）证明：连接CD，则∠EFD=∠ECD
在Rt△ACB中
cosA=

AC

AB

∵cos∠EFD=

AC

AB

∴∠A=∠EFD=∠ECD
∴AD=CD
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠B=90°∴∠B=∠BCD
∴CD=BD
∴AD=BD．

（2）解：∵BC、BD与⊙O相切
∴BC=BD
∵CD=BD
∴△BCD为正三角形
∴∠B=60°，∠A=30°
又∵∠EDA=∠ECD
∴∠EDA=∠A=30°．

（3）解：在Rt△EDC中
∠ECD=30°
∴ED=

1

2

EC
∵ED=EA
∴AE=

1

2

EC
∴E是AC的三等分点
∵BC=a，tanB=

AC

BC

∴AC=

3

a
∴⊙O的半径r=

1

2

CE=

1

3

AC=

3

3

a
∴⊙O的面积为S=πr²=

1

3

πa²．

点评：本题考查了圆的切线性质，圆的面积计算及解直角三角形的知识，解题过程中要注意数形结合．