Question

已知，如图，二次函数y=ax²+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=

3

3

x+

3

对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y=

3

3

x+

3

对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：解：（1）依题意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
两边都除以a得：
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．

证明：∵直线l：y=

3

3

x+

3

，
当x=-3时，y=

3

3

×(-3)+

3

=0，
∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=

3

3

x+

3

对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=

1

2

AB=2，HC=2

3

，
∴顶点H(-1，2

3

)，
代入二次函数解析式，解得a=-

3

2

，
∴二次函数解析式为y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

，
答：二次函数解析式为y=-

3

2

x2-

3

x+

3 3

2

．

（3）直线AH的解析式为y=

3

x+3

3

，
直线BK的解析式为y=

3

x-

3

，
由

y= 3 3 x+ 3 y= 3 x- 3

，
解得

x=3 y=2 3

，
即K(3，2

3

)，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2

3

），
∴HN+MN的最小值是MB，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，QE=EK=2

3

，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=

BK2+QK2

=

42+(2 3 +2 3 )2

=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．

点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．