【题目】如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(P不与B,C两点重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点F,设点P的横坐标为m(0<m<3)
(1)当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形;
(2)设△BCF的面积为S,求S的最大值.
【答案】(1)m=2(2)
【解析】试题分析:(1)PF的长就是当x=m时,抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差.可先根据B,C的坐标求出BC所在直线的解析式,然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中,求得出两函数的值的差就是PF的长. 根据直线BC的解析式,可得出E点的坐标,根据抛物线的解析式可求出D点的坐标,然后根据坐标系中两点的距离公式,可求出DE的长,然后让PF=DE,即可求出此时m的值.
(2)可将△BCF分成两部分来求:一部分是△PFC,以PF为底边,以P的横坐标为高即可得出△PFC的面积. 一部分是△PFB,以PF为底边,以P、B两点的横坐标差的绝对值为高,即可求出△PFB的面积. 然后根据△BCF的面积=△PFC的面积+△PFB的面积,可求出关于S、m的函数关系式.
解:(1)对于抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D(1,4)
令x=0,得到y=3;
令y=0,得到﹣x2+2x+3=0,即(x﹣3)(x+1)=0,
解得:x=﹣1或x=3,
则A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线对称轴为直线x=1;
设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)分别代入得:,
解得:k=﹣1,b=3,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
当x=1时,y=﹣1+3=2,
∴E(1,2),
∴DE=4﹣2=2,
∵PF⊥x轴,
∴P(m,﹣m+3),F(m,﹣m2+2m+3),
∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,
连接DF,由PF∥DE,得到当PF=DE时,四边形PEDF为平行四边形,
由﹣m2+3m=2,得到m=2或m=1(不合题意,舍去),
当m=2时,四边形PEDF为平行四边形;
(2)∵B(3,0),
∴OB=3,
∴S=PFOB=×3(﹣m2+3m)=﹣(m﹣)2+(0<m<3),
则当m=时,S取得最大值为.
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【题目】如图,在长方形ABCD中,放入6个形状和大小都相同的小长方形,已知小长方形的长为a,宽为b,且a>b.
(1)用含a、b的代数式表示长方形ABCD的长AD、宽AB;
(2)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A、点B,与X轴交于点C,其中点A(﹣1,3)和点B(﹣3,n).
(1)填空:m= ,n= .
(2)求一次函数的解析式和△AOB的面积.
(3)根据图象回答:当x为何值时,kx+b≥(请直接写出答案) .
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【题目】如图所示,在等边三角形ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)填空:①当t为 s时,四边形ACFE是菱形;②当t为 s时,△ACE的面积是△ACF的面积的2倍.
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【题目】如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”。图中点A表示-10,点B表示10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位,动点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速,设运动的时间为t秒,问:
(1)动点P从点A运动至点C需要________秒;
(2)P、Q两点相遇时,求出相遇点M所对应的数是多少?
(3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.
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【题目】王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的,她先作出了如图所示的平行四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图,在平行四边形ABCD中, .
求证:平行四边形ABCD是 .
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按王晓的想法写出证明过程.
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【题目】某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶,又在乙批发市场以每包n元的价格进了同样的60包茶叶,如果商家以每包元的价格卖出这些茶叶,卖完后,这家商店( )
A. 盈利了B. 亏损了C. 不盈不亏D. 盈亏不能确定
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【题目】如图,在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA、OB长度不限)中,要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96m2.
(1)求地面矩形AOBC的长;
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?
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【题目】在数轴上,点A向右移动1个单位得到点B,点B向右移动(n+1)(n为正整数)个单位得到点C,点A,B,C分别表示有理数a,b,c,
(1)当n=1时,
①点A,B,C三点在数轴上的位置如图所示,a,b,c三个数的乘积为正数,数轴上原点的位置可
A.在点A左侧或在A,B两点之间 B.在点C右侧或在A,B两点之间
C.在点A左侧或在B,C两点之间 D.在点C右侧或在B,C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等,求a的值;
(2)将点C向右移动(n+2)个单位得到点D,点D表示有理数d,a、b、c、d四个数的积为正数,这四个数的和与其中的两个数的和相等,且a为整数,请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a.
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