Question

19．已知方程x²-3x+1=0的两根α，β也是方程x⁶-px²+q=0的根，求p，q的值．

Answer 1

分析 方程x²-3x+1=0的两根α，β，得出α+β=3，αβ=1；α，β也是方程x⁶-px²+q=0的根得出α⁶-pα²+q=0，β⁶-pβ²+q=0，进一步恒等变形得出答案即可．

解答 解：∵α，β是方程x²-3x+1=0的两个根，
∴α+β=3，αβ=1，
∵α，β也是方程x⁶-px²+q=0的根，
∴α⁶-pα²+q=0，β⁶-pβ²+q=0，
∴α⁶-β⁶-p（α²-β²）=0，
∴p=α⁴+β⁴+α²β²=[（α+β）²-2αβ]²-α²β²=48，
∴q=7．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．