【题目】某县政府计划拨款34000元为福利院购买彩电和冰箱,已知商场彩电标价为2000元/台,冰箱标价为1800元/台,如按标价购买两种家电,恰好将拨款全部用完.
(1)问原计划购买的彩电和冰箱各多少台?
(2)购买的时候恰逢商场正在进行促销活动,全场家电均降价进行销售,若在不增加县政府实际负担的情况下,能否比原计划多购买3台冰箱?请通过计算回答.
【答案】(1)原计划购买彩电8台,购买冰箱10台;(2)在不增加县政府实际负担的情况下,能比原计划多购买3台冰箱,计算过程见解析
【解析】
(1)设原计划购买彩电x台,购买冰箱y台,根据题意列出二元一次方程,然后结合x、y的实际意义即可求出结论;
(2)先求出在购买台数不变的情况下,还剩多少元,即可判断结论.
解:(1)设原计划购买彩电x台,购买冰箱y台
由题意可得:2000x+1800y=34000,x、y均为正整数
解得:x=8,y=10
答:原计划购买彩电8台,购买冰箱10台.
(2)在购买台数不变的情况下,还剩34000×15%=5100(元)
现在每台冰箱售价为1800×(1-15%)=1530(元)
可买冰箱5100÷1530=3(台)……510(元)
答:在不增加县政府实际负担的情况下,能比原计划多购买3台冰箱.
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【题目】已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,CO⊥AB于点O,弦CD与AB交于点F.过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E,过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.
(1)求证:△EFD为等腰三角形;
(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,求AG的长.
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【题目】在菱形中,为直线上的点,为直线上的点,分别连接,,且.
(1)若,点在线段上,点在线段的延长线上,如图①,易证:(不需证明);
(2)如图②,若∠B=120°,点在线段上,点在线段的延长线上,如图③,猜想线段,和之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.
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【题目】如图,是的直径,且,点为外一点,且,分别切于点、两点.与的延长线交于点.
(1)求证:;
(2)填空
①当________时,四边形是正方形.
②当_________时,为等边三角形.
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BC=AC,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB’C’,若AB=2,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是___________ (结果保留π)
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【题目】(问题情境)
我们知道若一个矩形是的周长固定,当相邻两边相等,即为正方形时,它的面积最大.反过来,若一个矩形的面积固定,它的周长是否会有最值呢?
(探究方法)
用两个直角边分别为,的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形。若,可以拼成如图所示的正方形,从而得到,即;当时,中间小正方形收缩为1个点,此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和.即.于是我们可以得到结论:,为正数,总有,当且仅当时,代数式取得最小值.另外,我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论:
∵,∴,
∴对于任意实数,总有,且当时,代数式取最小值.
使得上面的方法,对于正数,,试比较和的大小关系.
(类比应用)
利用上面所得到的结论完成填空
(1)当时,代数式有最 值为 .
(2)当时,代数式有最 值为 .
(3)如图,已知是反比例函数图象上任意一动点,,,试求的最小面积.
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【题目】如图,已知直线l:y=x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;……按此作法继续下去,则点A2020的坐标为______________.
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
(1)求证:△DAC∽△DBA;
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证:CE=AD;
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD=6,AB=3,求CG的长.
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