Question

在△ABC中，AB=AC，点D在直线BC上（不与点B，C重合）．
（1）线段AD绕点A按逆时针方向旋转，且起始位置AD和终止位置AE所成的∠DAE=∠BAC，连接DE、CE，探索∠BCF与∠BAC的数量关系，并加以证明；
（2）若线段AD绕点A按顺时针反向旋转，且起始位置AD和终止位置AE所成的角∠DAE=∠BAC，连接DE、BE，探索∠EBC与∠BAC的数量关系，并且加以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）分类讨论：当点D在线段BC上，如图1（a），根据旋转的性质得AD=AE，再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，得到∠ABC=∠ACE，而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，于是得到∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图1（b），同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同样可得∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在CB的延长线上，如图1（c），同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，根据三角形外角性质得∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，所以∠BCE=∠BAC；
综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补；
（2）分类讨论：当点D在线段BC上，如图2（a），利用”SAS”证明△ACD≌△ABE，得到∠ACD=∠ABE，由三角形外角性质得∠EBC=∠ABE+∠ABC，
则∠EBC=∠ABC+∠ACB，而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠BAC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图2（b），同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，根据三角形外角性质得∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
所以∠EBC=∠BAC；
当点D在CB的延长线上，如图2（c），同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，同样得到∠EBC+∠BAC=180°．
综上所述，∠EBC与∠BAC相等或互补．

解答：解：（1）∠BCE与∠BAC相等或互补．理由如下：
当点D在线段BC上，如图1（a），

∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE，
∴AD=AE，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（sas），
∴∠ABC=∠ACE，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图1（b），

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，
同样得到∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在CB的延长线上，如图1（c），

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠BCE=∠BAC；
综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补；
（2）∠EBC与∠BAC相等或互补．理由如下：
当点D在线段BC上，如图2（a），

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAE，
在△ACD和△ABE中，

AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图2（b），

同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠EBC=∠BAC；
当点D在CB的延长线上，如图2（c），

同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°．
综上所述，∠EBC与∠BAC相等或互补．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．