取一副三角板按图①拼接.固定三角板ADC.将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°＜α≤45°得到⊿ABC/.如图②所示.试问:[小题1]当α为多少度时.能使得图②中AB∥CD?[小题2]当旋转至图③位置.此时α又为多少度?图③中你能找出哪几对相似三角形.并求其中一对的相似比.[小题3]连结BD.当0°＜α≤45°时.探寻∠DBC/+� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°得到⊿ABC^/，如图②所示。试问：
【小题1】当α为多少度时，能使得图②中AB∥CD？
【小题2】当旋转至图③位置，此时α又为多少度？图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比。
【小题3】连结BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC^/+∠CAC^/+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。

【小题1】由题意∠CAC′=α，

要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°时，能使得AB∥DC．
【小题2】易得α=45°时，可得图③，
此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，
则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．
下求△BFC与△ADC的相似比：
在图③中，设AB=a，则易得AC=

a．
则BC=（

-1）a， BC：AC=（

-1）a：

a=1：（2+

）
或（2-

）：2．（8分）
注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（

+1）：

或（

-2）：2
【小题3】∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，
当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．解析:
一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．

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