Question

20．如图①，一折叠桌面展开后成圆形，图中阴影部分是四个完全相等的弓形，可被折叠到桌面的背面去，若折叠后桌面上两对边间的距离为8dm，可折叠的弓形的底边长为7dm．
（1）求桌面展开成圆形时桌面的面积（结果保留π）；
（2）如果将桌面重新设计．保持原来的直径大小不变，但折叠后的桌面恰好为一正方形，如图②所示，求这个正方形的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，过O作OM⊥CD于M，由垂径定理得到CM=$\frac{1}{2}$CD=3.5dm，由勾股定理得到OC=$\sqrt{C{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{97}}{2}$，根据圆的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，连接BD，由四边形ABCD是正方形，得到∠A=90°，推出BD过圆心O，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，过O作OM⊥CD于M，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=3.5dm，
∵桌面上两对边间的距离为8dm，
∴OM=4dm，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{97}}{2}$，
∴桌面展开成圆形时桌面的面积=OC²•π=$\frac{97}{4}$π；
（2）如图2，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴BD过圆心O，
∵保持原来的直径大小不变，
∴BD=$\sqrt{97}$，
∴S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD²=$\frac{97}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、正方形和圆的关系，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．