Question

【题目】如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为_______米，BC为_______米．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点C作CP⊥EF于点P，过点B作直线GH∥EF交AE于点G，交CP于点H，如图，则△ABG、△BCH都是等腰直角三角形，四边形BGEF、BHPF是矩形，于是可根据等腰直角三角形的性质和勾股定理依次求出AG、BG、AB的长，设FP=BH=CH=x，则MP=x－2，CP=x+10，易证△AEF∽△CPM，然后根据相似三角形的性质即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，再根据勾股定理即可求出BC的长．

解：过点C作CP⊥EF于点P，过点B作直线GH∥EF交AE于点G，交CP于点H，如图，则GH⊥AE，GH⊥CP，

∴四边形BGEF、BHPF是矩形，

∵∠ANE＝45°，∴∠NAE＝45°，

∴AE=EN=EF+FM+MN=15+2+8=25，

∵∠ABG＝45°，∴∠GAB＝45°，

∴AG=BG=EF=15，

∴，GE=BF=PH=10，

∵∠ABG＝45°，∠ABC＝90°，∴∠CBH＝45°，

∴∠BCH=45°，∴BH=CH，

设FP=BH=CH=x，则MP=x－2，CP=x+10，

∵∠1=∠2，∠AEF=∠CPM=90°，

∴△AEF∽△CPM，

∴，即，解得：x=20，

即BH=CH=20，

∴．

∴米，米．

故答案为：，．