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3.等腰三角形三边的长为2、2、b,若关于x的方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根之差的绝对值为$2\sqrt{5}$,则等腰三角形的底角的度数是(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°

分析 设方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根为m、n,根据根与系数的关系得到m+n=$\sqrt{2}$b,mn=1,由|m-n|=2$\sqrt{5}$变形得到(m+n)2-4mn=20,则($\sqrt{2}$b)2-4=20,解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$(舍去),如图,AB=AC=2,BC=2$\sqrt{3}$,作AD⊥BC于D,根据等腰三角形的性质得BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$,然后根据余弦的定义可求出∠B的度数.

解答 解:设方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根为m、n,则m+n=$\sqrt{2}$b,mn=1,
而|m-n|=2$\sqrt{5}$,
所以(m-n)2=20,则(m+n)2-4mn=20,
($\sqrt{2}$b)2-4=20,解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$(舍去),
所以等腰三角形三边的长为2、2、2$\sqrt{3}$,
如图,AB=AC=2,BC=2$\sqrt{3}$,
作AD⊥BC于D,则BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$,
所以cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
所以∠B=30°.
故选A.

点评 本题考查了根与系数的关系:若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-$\frac{b}{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.也考查了等腰三角形的性质.

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