Question

【题目】某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天售量（n件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：

②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：

（1）求出第10天日销售量；

（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品的销售利润最大？最大利润是多少？（提示：每天销售利润＝日销售量×（每件销售价格﹣每件成本））

（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）180；（2）当x＝40时，y的值最大，最大值是7200；（3）46天销售利润不低于5400元．

【解析】

（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可，进而得出第10天日销售量；
（2）当1≤x＜50时，y=-2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=-120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）根据1≤x＜50和50≤x≤90时，由y≥5400求得x的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．

解：（1）∵n与x成一次函数，

∴设n＝kx+b，将x＝1，n＝198，x＝3，n＝194代入，得：

，

解得：．

所以n关于x的一次函数表达式为n＝﹣2x+200，

故第10天日销售量：n＝﹣20+200＝180（件）；

（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：

，

当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+160x+4000＝﹣2（x﹣40）2+7200，

∵﹣2＜0，

∴当x＝40时，y有最大值，最大值是7200；

当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，

∵﹣120＜0，

∴y随x增大而减小，即当x＝50时，y的值最大，最大值是6000；

综上所述，当x＝40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；

（3）当1≤x＜50时，由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400，

解得：10≤x≤70，

∵1≤x＜50，

∴10≤x＜50；

当50≤x≤90时，由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400，

解得：x≤55，

∵50≤x≤90，

∴50≤x≤55，

综上所述，10≤x≤55，

故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．