Question

如图，梯形中，∥，，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上运动；动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上运动．以为边作等边△，与梯形在线段的同侧．设点、运动时间为，当点到达点时，运动结束．

（1）当等边△的边恰好经过点时，求运动时间的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△与梯形的重合部分面积为，请直接写
出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
（3）如图，当点到达点时，将等边△绕点旋转()，
直线分别与直线、直线交于点、．是否存在这样的，使△为等腰三角形？
若存在，请求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）t=4s（2）（3）存在。

试题分析：（1）当EG经过点A时　∴△EGF为等边三角形∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE
∴∠BAE＝∠B＝30⁰∴BE＝AE＝t＝EF∴此时G与A,重合
∴在Rt△BAF中2t•cos30⁰=4　　　 解得t=4s           
（2）     .
（3）存在；①当M点在线段CD上时，△DMN为等腰三角形
当MD＝MN此时：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝30⁰
∴ME＝MC
作MH⊥CE

EH=
∴
∴DM=
当D＝D时
此时
D＝，不存在
当ND＝NM时，则∠NDM＝∠DMN＝30⁰，则M不在线段CD上. ∴舍
②当M在CD延长线上时当N₁D=N₁M₁时∠1＝∠M₁,又∠1＝∠2
∴∠2＝∠∴EM₁=CE=
过E作EH⊥CM₁则CM₁=2CH=2×CE•cos30⁰=

∴DM₁=
当DM₂=DN₂时可知CM₂=CE=；∴DM₂=
当M₃D=M₃N时此时∠M₂N₂D=∠1=30°
∴此时：∠M₃EC=30⁰
则M不在CD延长线上∴舍去
③当M在DC延长线上时
∵∠D为150⁰∴△DMN为等腰△时只有DM＝DN
则：∠N＝∠1＝∠2＝∠M
∴CE＝CM＝∴DM＝4
综上所述DM的长为：    
点评：本题难度较大，需要学生审题后通过动点在各范围内求出所对应函数式，再分情况具体分析，在分析过程中应抓住“动中有静”，即点移动过程中还会有一个量保持不变。此类题型多为中考的压轴题。