Question

【题目】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　；

（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；

（3）若保持三角尺BCE（其中∠B＝45°）不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD（其中∠D＝30°）绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．

设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）

①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．

②当这两块三角尺各有一条边互相垂直时直接写出α的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）145°，40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补；（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，α＝54°；②CE⊥AD时，α＝30°，BE⊥CD时，α＝45°，BE⊥AD时，α＝75°．

【解析】

（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，所以若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为180°﹣35°＝145°，∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为180°﹣140°＝40°

（2）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°．

（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，利用∠ACB与∠DCE互补得出即可；

②分别利用CE⊥AD，BE⊥CD，BE⊥AD分别求出即可．

解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，

∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．

∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，

∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．

故答案为：145°，40°；

（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，

理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．

∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，

∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．

（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，

∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，

∵∠ACB+∠DCE＝180°，

∴4x+x＝180°

解得：x＝36°，

∴α＝90°﹣36°＝54°；

②CE⊥AD时，AD∥BC，

∴α＝∠D=30°，

BE⊥CD时，α＝α＝∠B=45°，

BE⊥AD时，如图，∠EFG=90°-45°=45°，

∴∠ECD=∠EFG-∠D=45°-30°=15°，

则α=∠ECB-∠ECD=90°-15°=75°.

综上，CE⊥AD时，α＝30°，BE⊥CD时，α＝45°，BE⊥AD时，α＝75°．