Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AC、ED的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，CE．

（1）求证：四边形AECD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AECD是正方形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）∠BAC=90°．

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．

试题解析：（1）证明：∵点O为AC的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）当∠BAC=90°时，

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四边形AEBD是矩形，

∴矩形AEBD是正方形．

考点：1．正方形的判定；2．矩形的判定．