Question

如图，已知平行四边形ABCD，E是对角线AC延长线上的一点，
（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BE=DE；
（2）写出（1）的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，试给出证明；若是假命题，试举出反例．

Answer 1

分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；
（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直．

解答：（1）证明：连接BD，交AC于点O．
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，且BO=OD．
又∵E是AC延长线上的一点，
∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，
∴△DEB是等腰三角形，
∴BE=DE；

（2）解：（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，
它是真命题，理由如下：
∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，
∴BO=OD．
又∵BE=DE
∴EO⊥BD，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：本题综合考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及命题与定理．解答该题时，充分利用的等腰三角形的“三合一”的性质．