Question

如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，

试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为        ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.

Answer 1

（1）
（2）
（3）略
（4）略

解析（1）；（1分）
（2）

  ① （2分）
  （3分）
 ② （4分）（注：不去绝对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD，则

由①得 （5分）

[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.

∴直线CM的函数关系式为， ③  （5分）
  ④
联立③，④得：，

[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1
过点B作


（4）如果，
①当，如图27 – 2


∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）
②当如图27 – 3


∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）
下证平行四边形BDCF为菱形：
[法一]在，

[方法①]上方
（舍去）.
得
[方法②]由②得：
此时
∴此时四边形BDCF为菱形（9分）
[法二]在等腰中