Question

8．如图A（-4，0），C（0，3），将线段CA以点C为旋转中心旋转，所得的对应线段记为CA'，当点A'落在y轴上时，写出A'的坐标，并求出以A'为顶点，经过A（-4，0）的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 需要分类讨论：线段CA按照顺时针和逆时针旋转两种情况．根据勾股定理和点的坐标与图形的性质求得点A′的坐标，然后利用待定系数法求得该函数解析式即可．

解答 解：∵A（-4，0），C（0，3），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
①当将线段CA以点C为旋转中心，顺时针旋转时，A′（0，8）．
设该函数解析式为y=ax²+8．
把A（-4，0）代入得到：0=16a+8，
解得a=-$\frac{1}{2}$．
故该函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+8．
②当将线段CA以点C为旋转中心，逆时针旋转时，A′（0，2）．
设该函数解析式为y=ax²-2．
把A（-4，0）代入得到：0=16a-2，
解得a=$\frac{1}{8}$．
故该函数解析式为：y=$\frac{1}{8}$x²+2．
综上所述，该二次函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+8或y=$\frac{1}{8}$x²+2．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．解题时，需要对点A′的位置进行分类讨论，以防漏解．