Question

如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）在线段OB上有点E，当四边形CDOE为等腰梯形时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；运用等边三角形的性质求出BG、OG的长度；运用正弦定理求出圆的直径，进而求出OC的长度，即可解决问题．
（2）运用切线的性质、射影定理等几何知识，求出OD的长度，进而得到点D的坐标；首先设出直线CD的方程，然后运用待定系数法求出待定系数，即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；根据题意，首先证明CD∥OB，此为解题的关键；然后证明OE=CE=OD；利用边角关系求出EF、OF的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接AC，过点B作BG⊥OA于点G；
∵△OAB为等边三角形，
∴OB=AB=OA=2，∠BOA=60°；
∴OG=AG=1，∠OBG=90°-60°=30°，
∴tan30°=

OG

BG

，BG=

3

；
设⊙O的半径为λ，则

2

sin60°

=2λ，
∴2λ=

4

3

，而∠COA=90°，
∴AC为⊙O的直径，即AC=

4

3

；
由勾股定理得：OC2=AC2-OA2=(

4

3

)2-22，
∴OC=

2 3

3

；综上所述，点B、C的坐标分别为：
B（1，

3

）、C（0，

2 3

3

）．
（2）∵直线CD为⊙O的切线，
∴CD⊥AC，设OD=μ；由射影定理得：
CO²=OD•OA，即(

2 3

3

)2=2μ，
∴μ=

2

3

，故D点坐标为D（-

2

3

，0）；
设直线CD的方程为y=kx+b，由题意得：

b= 2 3 3 - 2 3 k+b=0

，
解得：k=

3

，b=

2 3

3

，
∴直线CD的函数解析式为y=

3

x+

2 3

3

．
（3）如图，连接CE，过点E作EF⊥OC；
设∠CDO=α，则tanα=

CO

OD

=

2 3 3

2 3

=

3

，
∴α=60°，而∠BOA=60°，
∴CD∥OB；而四边形CDOE为等腰梯形，
∴CE=OD=

2

3

，∠CEO=∠DOE=180°-60°=120°；
∵∠COE=90°-60°=30°，
∴∠OCE=180°-120°-30°=30°，
∴∠COE=∠OCE，OE=CE=

2

3

；
∵sin30°=

EF

OE

，cos30°=

OF

OE

∴EF=

1

3

，OF=

3

3

，
∴点E的坐标为E（

1

3

，

3

3

）．

点评：该题以平面直角坐标系和圆为载体，以考查点的坐标的定义、直角三角形的边角关系、直线方程、射影定理、等腰梯形的性质等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．