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如图，抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为 $数学公式$ ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y= $数学公式$ x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y= $数学公式$ x+m的表达式；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y= $数学公式$ x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（-1，- $\text{[math]}$ ）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，- $\text{[math]}$ ）代入抛物线y=ax²+bx-3中，有：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴抛物线的表达式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
∵直线y= $\text{[math]}$ x+m过点D（4，5）
∴5= $\text{[math]}$ ×4+m，则 m=2；
∴所求直线的表达式y= $\text{[math]}$ x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x， $\text{[math]}$ x+2），则：OM²= $\text{[math]}$ x²+3x+4、FM²= $\text{[math]}$ x²；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴ $\text{[math]}$ x+2=1，x=- $\text{[math]}$ ；即点M的坐标（- $\text{[math]}$ ，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则： $\text{[math]}$ x²=4，x₁= $\text{[math]}$ 、x₂=- $\text{[math]}$
代入y= $\text{[math]}$ x+2中，得：y₁= $\text{[math]}$ 、y₂= $\text{[math]}$ ；
即点M的坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②OM=OF=2，则： $\text{[math]}$ x²+3x+4=4，x₁=0（舍）、x₂=- $\text{[math]}$
代入y= $\text{[math]}$ x+2中，得：y= $\text{[math]}$ ；
即点M的坐标（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（- $\text{[math]}$ ，1）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．
点评：此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．

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（1）求该抛物线的解析式；
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