【题目】如图1,等边△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,BD=CE,连AD、BE.
(1)求证:△CAD≌△ABE;
(2)如图2,延长FE至点G,使得FG=FA,连AG,试判断△AFG的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连CF,若CF⊥AD,求证:CF⊥CG.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)由等边三角形的性质可得:∠BAC=∠ACD=60°,AB=AC=BC,再结合已知得出CD=AE,最后运用SAS即可证明;
(2)由(1)△CAD≌△ABE,可得∠CAD=∠ABE,进而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°,即可说明其为等边三角形;
(3)由(2)知△AFG是等边三角形,进一步说明∠BAF=∠CAG,运用(SAS)判定△ABF≌△ACG,得出∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG,则AD∥CG,即可得出结论
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACD=60°,AB=AC=BC,
∵BD=CE,
∴CD=AE,
在△CAD和△ABE中,,
∴△CAD≌△ABE(SAS);
(2)由(1)知,△CAD≌△ABE,
∴∠CAD=∠ABE,
∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°,
∵FG=FA,
∴△AFG是等边三角形;
(3)由(2)知,△AFG是等边三角形,
∴AF=AG,∠AFE=∠AGF=∠FAG=60°=∠BAC,
∴∠BAF=∠CAG,
在△ABF和△ACG中,,
∴△ABF≌△ACG(SAS),
∴∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°,
∴∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG,
∴CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴CF⊥CG.
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【题目】如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE,CD,F为BE的中点,连接AF.
(1)如图①,当∠BAE=90°时,求证:CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°时,(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.
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【题目】已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?并说明理由.
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【题目】如图,将直角三角形ABC沿斜边BC所在直线向右平移一定的长度得到三角形DEF,DE交AC于G,连接AE和AD.有下列结论:①AC∥DF;②AD∥BE,AD=BE;③∠B=∠DEF;④ED⊥AC.其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】市实验中学学生会准备调查七年级学生参加“球类”“书画类”“棋牌类:”“器乐类”四类校本课程的人数.
(1)确定调查方式时,甲同学说:“我到七年级(1)班去调查全体同学”;乙同学说:“放学时,我到校门口随机调查部分同学”;丙同学说:“我到七年级每个班随机调查一定数量的同学”.这三位同学的调查方式中,最合理的是______(填“甲”“乙”或“丙”)同学的调查方式.
(2)他们采用了最为合理的调查方法收集数据,并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图,请你根据图表提供的信息解答下列问题:
①a=________,b=________;
②在扇形统计图中,器乐类所对应的圆心角的度数是________;
③若该校七年级有学生660人,请你估计大约有多少学生参加球类校本课程?
类别 | 频数(人数) | 百分比 |
球类 | 25 | |
书画类 | 20 | 20% |
棋牌类 | 15 | b |
器乐类 | ||
合计 | a | 100% |
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF, BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;
(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗?为什么?
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【题目】今年起,兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一,其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况,随机调查了720名初二学生.调查内容是:“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”,利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示,解答下列问题:
(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少?
(2)“没时间”锻炼的人数是多少?并补全频数分布直方图;
(3)2011年兰州市区初二学生约为2.4万人,按此调查,可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人?
(4)请根据以上结论谈谈你的看法.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为_____.
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【题目】如图,在中,,,是等边三角形,点在边上.
(1)如图1,当点在边上时,与有什么数量关系,请说明你的理由;
(2)如图2,当点在内部时,猜想和数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点在外部时,于点,过点作,交线段的延长线于点,,.求的长.
(温馨提示:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即在中,,若点为斜边中点,则)
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