Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△PEQ=

2

25

S_△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析：（1）若要PE∥AB，则应有

DE

DA

=

DP

DB

，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到

DE

BC

=

EQ

CD

，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到

PQ

BD

=

PN

BM

，求得PN的值，利用S_△PEQ=

1

2

EQ•PN得到y与t之间的函数关系式；
（3）利用S_△PEQ=

2

25

S_△BCD建立方程，求得t的值；
（4）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD，即五边形的面积不变．

解答：解：（1）当PE∥AB时，
∴

DE

DA

=

DP

DB

．
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

6

=

10-t

10

，
∴t=

15

4

，
∴当t=

15

4

（s），PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴

DE

BC

=

EQ

CD

．

t

10

=

EQ

4

．
∴EQ=

2

5

t．
过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=

1

2

CD=2cm，
∴BM=

102-22

=

100-4

=

96

=4

6

cm，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴

PQ

BD

=

PN

BM

．
∴

10-2t

10

=

PN

4 6

．
∴PN=4

6

(1-

t

5

)．
∴S_△PEQ=

1

2

EQ•PN=

1

2

×

2

5

t×4

6

(1-

t

5

)=-

4 6

25

t2+

4 6

5

t．

（3）S_△BCD=

1

2

CD•BM=

1

2

×4×4

6

=8

6

，
若S_△PEQ=

2

25

S_△BCD，
则有-

4 6

25

t²+

4 6

5

t=

2

25

×8

6

，
解得t₁=1，t₂=4．

（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD=8

6

．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．