Question

（2012•荆州）已知：y关于x的函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．
（2）①根据（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．

解答：解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=-2x+3，其图象与x轴有一个交点．…（1分）
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k-1）x²-2kx+k+2=0．
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．…（2分）
综上所述，k的取值范围是k≤2．…（3分）

（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，
∴k＜2，且k≠1．
由题意得（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）…（4分）
将（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：
2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．…（5分）
又∵x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁x₂=

k+2

k-1

，
∴2k•

2k

k-1

=4•

k+2

k-1

．…（6分）
解得：k₁=-1，k₂=2（不合题意，舍去）．
∴所求k值为-1．…（7分）
②如图，∵k₁=-1，y=-2x²+2x+1=-2（x-

1

2

）²+

3

2

．
且-1≤x≤1．…（8分）
由图象知：当x=-1时，y_最小=-3；当x=

1

2

时，y_最大=

3

2

．…（9分）
∴y的最大值为

3

2

，最小值为-3．…（10分）

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．