Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.

（1）求BGC的度数；

（2）若CE=1，H为BF的中点时，求HG的长度；

（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长.

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）；（3）△BGC的周长为

【解析】

（1）先利用正方形的性质和SAS证明△BCE≌△CDF，可得∠CBE=∠DCF，再利用角的等量代换即可求出结果；

（2）先根据勾股定理求出BF的长，再利用直角三角形的性质求解即可；

（3）根据题意可得△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，进一步依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而求出其周长．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，

在△BCE和△CDF中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDF，CE=DF，

∴△BCE≌△CDF（SAS），

∴∠CBE=∠DCF，

又∵∠BCG+∠DCF=90°，

∴∠BCG+∠CBE=90°，

∴∠BGC=90°；

（2）如图，∵CE=1，∴DF=1，∴AF=2，

在直角△ABF中，由勾股定理得：，

∵H为BF的中点，∠BGF=90°，

∴；

（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，

∴阴影部分的面积为×9=6，

∴空白部分的面积为9－6=3，

∵△BCE≌△CDF，

∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，

设BG=a，CG=b，则ab=，∴ab=3，

又∵a2+b2=32，

∴a2+2ab+b2=9+6=15，

即（a+b）2=15，

∴a+b=，即BG+CG=，

∴△BCG的周长=+3.