Question

阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．

小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为      ;
（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题：
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）;
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

Answer 1

(1)PA+PB+PC的最小值为;
(2)①图形见解析;②当PA+PB+PC值最小时PB的长为．

试题分析：（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC,则∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,再证明∠BCE=90°,然后在Rt△BCE中,由勾股定理求出BE的长度,即为PA+PB+PC的最小值;
（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段;
②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC,则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形,得到PE=CE=CP,然后根据菱形.三角形外角的性质,等腰三角形的判定得出BP=CP,同理,得出DE=CE,则BP=PE=ED=BD．
试题解析：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,
∴△APC≌△EDC,
∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．
在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5,
∴,
即PA+PB+PC的最小值为;
（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段;

②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,
∴△APC≌△DEC,
∴CP=CE,∠PCE=60°,
∴△PCE是等边三角形,
∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°,
∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°,
∴∠PCB=∠CBP=30°,
∴BP=CP,
同理,DE=CE,
∴BP=PE=ED．
连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD．
在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4,
∴BO=BC•cos∠OBC=,
∴BD=2BO=,
∴BP=BD=．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．