Question

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-4mx+4m+3的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
①直接写出点O′和A′的坐标；
②若抛物线y=mx²-4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将抛物线解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据平移的性质即可得出结论；
（3）结合图象，判断出抛物线和四边形AOO'A'只有两个公共点的分界点即可得出；

解答 解：（1）∵y=mx²-4mx+4m+3=m（x²-4x+4）+3=m（x-2）²+3，∴
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）．
（2）由（1）知，A（2，3），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
∴A'（4，3），O'（2，0）；
   （3）如图，

∵抛物线y=mx²-4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y=mx²-4mx+4m+3中，得m=-$\frac{3}{4}$．
∴-$\frac{3}{4}$＜m＜0．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，平移的性质，抛物线的性质，解本题的关键是借助图象找出只有两个公共点的分界点，是一道比较简单的题目，画出图象是解本题的难点，用数形结合的方法，有助于学生理解和找到分界点．