如图.小唐同学正在操场上放风筝.风筝从A处起飞.几分钟后便飞达C处.此时.在AQ延长线上B处的小宋同学.发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．(1)已知旗杆高为10米.若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°.A处测得点P的仰角为45°.试求A.B之间的距离,(2)此时.在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°.若绳子在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2008•资阳）如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A，B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）

【答案】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△BPQ、△ABE，应利用PQ=10米构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
解答：解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，
∴∠BPQ=90°-30°=60°，
则BQ=tan60°×PQ=

，
又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，
则AQ=tan45°×PQ=10，
即：AB=（

+10）（米）；

（2）过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=

+10，
∴AE=sin30°×AB=

（

+10）=5

+5（米）．
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，sin45°=

，
∴AC=

=（5

）（米）．
点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

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（2008•资阳）如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．