Question

【题目】在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α=度；
（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）60或240
（2）解：结论：AC=BD，理由如下：

如图2中，

∵∠COD=∠AOB=60°，

∴∠COA=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD

（3）解：①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，

∴CH=HD= ，OH= ，

在Rt△AOH中，

AH= = ，

∴BD=AC=CH+AH= ．

如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH﹣CH= ，

综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为 或

（4）解：如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值= ﹣1．

【解析】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，
此时旋转角α=60°或240°．
所以答案是60或240；