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(2007•泰州)如图①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为,AB=10,点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了AB的长和B点的坐标,那么sin∠BAO==,因此∠BAO=60°
(2)由函数的图形可知:当t=5时,三角形OPQ的面积是30,如果设点P的速度为a,那么AP=5a,那么P到AC的距离就是a,也就是P到OQ的距离为10-a.OQ=QD+OD=5a+2.因此(5a+2)×(10-)×=30,解得a=1.6,a=2.由于抛物线的解析式为S=(at+2)(10-)×,经化简后可得出对称轴应该是t=,当a=1.6时,对称轴t=5.625显然大于5,与给出的抛物线的图形不相符,因此a=2是本题的唯一的解.也就是说P的速度是2单位/秒.
(3)根据(2)的求解过程即可得出S的解析式.然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值,然后根据P,Q的速度和t的取值,可求出P点的坐标.
(4)本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围,当∠OBQ的度数大于90°,∠OCQ的度数小于90°时,那么在AB,BC上分别有一个符合要求的点P,如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点,如果∠OBQ=90°,那么符合要求的点只有一个.当P,B重合时,作∠OPM=90°交y轴于点M,作PH⊥y轴于点H,然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围,根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长,然后比较OM,OQ的大小,如果OQ>OM则说明∠OPQ>90°,反之则小于90°,用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围,然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点.
解答:解:(1)∵顶点B的坐标为,AB=10,
∴sin∠BAO==
∴∠BAO=60度.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

(3)过P作PM⊥x轴,
∵点P的运动速度为2个单位/秒.
∴t秒钟走的路程为2t,即AP=2t,
又∵∠APM=30°,
∴AM=t,又OA=10,
∴OM=(10-t),即为三角形OPQ中OQ边上的高,
而DQ=2t,OD=2,可得OQ=2t+2,
∴P(10-t,t)(0≤t≤5),
∵S=OQ•OM=(2t+2)(10-t),
=-(t-2+
∴当t=时,S有最大值为,此时P().

(4)当点P沿这两边运动时,∠OPQ=90°的点P有2个.
①当点P与点A重合时,∠OPQ<90°,
当点P运动到与点B重合时,OQ的长是12单位长度,
作∠OPM=90°交y轴于点M,作PH⊥y轴于点H,
由△OPH∽△OPM得:OM==11.5,
所以OQ>OM,从而∠OPQ>90度.
所以当点P在AB边上运动时,∠OPQ=90°的点P有1个.
②同理当点P在BC边上运动时,可算得OQ=12+=17.8,
而构成直角时交y轴于(0,),=20.2>17.8,
所以∠OCQ<90°,从而∠OPQ=90°的点P也有1个.
所以当点P沿这两边运动时,∠OPQ=90°的点P有2个.
点评:本题结合三角形的相关知识考查二次函数的综合应用,要特别注意(2)中舍去速度为1.6的原因.
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(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

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(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

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