Question

11．如图直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD、CD交于G、H两点，若EF=2，S_△ABE=$\frac{1}{2}$，则线段GH长度的最小值是1．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，再利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，设AE=x，BE=y，然后列出方程组求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠OAG=∠ODH=45°，根据同角的余角相等求出∠AOG=∠DOH，然后利用“角边角”证明△AOG和△DOH全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH，判断出△OGH是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH⊥CD时GH最短，然后求解即可．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥l，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ADF}\\{∠AFD=∠BEA=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
设AE=x，BE=y，
∵EF=2，S_△ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
消掉y并整理得，x²-2x+1=0，
解得x₁=x₂=1，
∴x=y=1，
∴由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
在正方形ABCD中，∠OAG=∠ODH=45°，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠AOG+∠DOG=90°，
∵OG⊥OH，
∴∠DOH+∠DOG=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
在△AOG和△DOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠DOH}\\{OA=OD}\\{∠OAG=∠ODH}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOH（ASA），
∴OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，OH⊥CD时OH最短，GH也最短，
此时，GH的最小值为：$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．
故答案为：1．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质．注意难点在于多次证明三角形全等并判断出GH长度最小时的情况．