Question

探索题：先填空，再解答，解答需要写出恰当的过程．
（x-1）（x+1）=

 

；
（x-1）（x²+x+1）=

 

； 
（x-1）（x³+x²+x+1）=

 

；
…
（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=

 

；
①运用以上方法求：2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
②运用以上方法求：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的个位数字是多少？

Answer 1

考点：多项式乘多项式

专题：规律型

分析：先利用平方差公式求出（x-1）（x+1）=x²-1；再利用多项式乘多项式的法则求出（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；由此得出规律（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
①将2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
②原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断．

解答：解：（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
…
（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
①2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1
=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1
=127；

②原式=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁵-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，…
∴2ⁿ（n是正整数）的个位数字按照规律：2，4，8，6；2，4，8，6循环出现，
∵2015÷4=503…3，
∴2²⁰¹⁵的个位数字与2³的个位数字相同，是8，
∴2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=2²⁰¹⁵-1的个位数字是7．
故答案为x²-1；x³-1；x⁴-1；xⁿ⁺¹-1．

点评：此题考查了多项式乘多项式，尾数特征，熟练掌握运算法则是解本题的关键．