Question

7．在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD．证出∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，得出∠CEF=∠F，即可得出结论；
（2）证出四边形CEGF是菱形，得出EG=EC，∠GCF=∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ECF=60°．得出△ECG是等边三角形．得出EG=CG，∠GEC=∠EGC=60°，得出∠GEC=∠GCF，因此∠BEG=∠DCG，证出AB=BE．BE=DC，由SAS证明△BEG≌△DCG．得出BG=DG，∠1=∠2，求出∠BGD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F，
∴CE=CF．
（2）解：分别连接GB、GE、GC，如图2所示．
∵AB∥DC，∠ABC=120°，
∴∠ECF=∠ABC=120°，
∵FG∥CE且FG=CE，
∴四边形CEGF是平行四边形．
由（1）得CE=CF，
∴四边形CEGF是菱形，
∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ECF=60°．
∴△ECG是等边三角形．
∴EG=CG，∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCF，
∴∠BEG=∠DCG，
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE．
在□ABCD中，AB=DC．
∴BE=DC，
在△BEG和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=CG}&{\;}\\{∠BEG=∠DCG}&{\;}\\{BE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS）．
∴BG=DG，∠BGE=∠CGD，
∴∠BGD=∠BGE+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠EGC=60°．
∴∠BDG=$\frac{1}{2}$（180°-∠BGD）=60°．

点评 此题主要考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．