Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，点C在第一象限．已知点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点P在线段OB上，且OP＝OA．

（1）点C的坐标为　 　（用含m，n的式子表示）

（2）求证：CP⊥AP．

Answer 1

【答案】（1）（n，m+n）；（2）详见解析．

【解析】

（1）过点C作CD⊥y轴于点D，由“AAS”可证△CDB≌△BOA，可得BO=CD=n，AO=BD=m，即可求解；

（2）由线段的和差关系可得DP=n=DC，可得∠DPC=45°，可得结论．

（1）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，

∴∠CDB＝90°，

∴∠DCB+∠DBC＝90°，且∠ABO+∠CBD＝90°，

∴∠DCB＝∠ABO，且AB＝BC，∠CDB＝∠AOB＝90°，

∴△CDB≌△BOA（AAS）

∴BO＝CD＝n，AO＝BD＝m，

∴OD＝m+n，

∴点C（n，m+n），

故答案为：（n，m+n）；

（2）∵OP＝OA＝m，OD＝m+n，

∴DP＝n＝DC，∠OPA＝45°，

∴∠DPC＝45°，

∴∠APC＝90°，

∴AP⊥PC．