Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为(5，5

3

)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，因此∠BAO=60°
（2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ的面积是30，如果设点P的速度为a，那么AP=5a，那么P到AC的距离就是

5

2

a，也就是P到OQ的距离为10-

5

2

a．OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-

5a

2

）×

1

2

=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at+2）（10-

at

2

）×

1

2

，经化简后可得出对称轴应该是t=

9

a

，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P的速度是2单位/秒．
（3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标．
（4）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．

解答：解：（1）∵顶点B的坐标为(5，5

3

)，AB=10，
∴sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，
∴∠BAO=60度．

（2）点P的运动速度为2个单位/秒．

（3）过P作PM⊥x轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，又OA=10，
∴OM=（10-t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，
而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，
∴P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

OQ•OM=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

．
∴当t=

9

2

时，S有最大值为

121

4

，此时P（

11

2

，

9 3

2

）．

（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．
①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM=

20 3

3

=11.5，
所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90°的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+

10 3

3

=17.8，
而构成直角时交y轴于（0，

35 3

3

），

35 3

3

=20.2＞17.8，
所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．

点评：本题结合三角形的相关知识考查二次函数的综合应用，要特别注意（2）中舍去速度为1.6的原因．