Question

【题目】ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：

①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；

②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；

③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；

④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．

以上所有正确说法的序号是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根据平行四边形的性质得AB∥DC，OA＝OC，再由平行线的性质和对顶角相等可得∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，根据ASA来判定△AOE≌△COF，推出AE=CF,由此可判断四边形为平行四边形；

②根据矩形的判定定理可知，当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；

③根据菱形的判定定理可知：当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形；

④当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，在AB上一定存在一点E

解：（1）如图1，

∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，

∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠OAE＝∠OCF，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE＝CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF为平行四边形，

即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，

故选项①正确；

（2）如图2，当∠ABC＜90°,

当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，

在图2中，AB>AD时，存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；

而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；

故选项②不正确．

（3）如图3，

当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，

∵AB＞AD，

∴在AB上一定存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；

故选项③正确．

（4）如图4，

当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，故选项④正确．

故答案为：①③④．